Особенности эволюционных уравнений для социальных и экономических систем

В чем сложность применения математических методов к задачам гуманитарных наук? Во-первых, почти все системы и процессы, являющиеся предметом изучения этих наук, являются нелинейными и вследствие этого, как правило, неустойчивыми. Во-вторых, при поиске общих закономерностей всегда есть опасность, ввиду большой разнородности и своеобразия приложений, быть сбитым с толку техническими деталями, возникающими при решении отдельных задач. И, в-третьих, в самих этих науках нет понимания, какие процессы являются определяющими, а какие второстепенными, и это вносит дополнительную сложность в возможность применения математики.

В работе предлагается классифицировать эти задачи не по принципу описываемого ими явления, а по форме используемых закономерностей. Кроме того, мы ставится задача – не просто выяснить характер эволюции социальных систем, но и, что не менее важно, научиться управлять такими сложными системами, показать возможность создания таких специальных условий, при которых изучаемая система сама переходит в наперед заданное состояние.

Нелинейные уравнения обладают значительной общностью. Оказалось, что в природе существует всего несколько универсальных сценариев перехода от порядка к хаосу и обратно. Похоже, в этом проявляется новый, более глубокий уровень единства Природы.

При изучении нелинейных систем исследователя чаще всего интересует время эволюции неустойчивых систем, а не время развития соответствующих неустойчивостей. То есть интересует время прихода системы, в конце концов, к некоторому предельному состоянию. Предельное состояние часто обладает либо притягивающими свойствами, тогда, в простейшем случае, оно называется аттрактором, либо, в более, общем случае – совокупностью ограничительных для поведения системы свойств в поле данных возмущений. Существенно, что предельное состояние часто уже не зависит от ряда деталей начальных условий, важных для начального этапа развития системы. Но предельное состояние, находясь под действием поля внешних возмущений, само претерпевает эволюционные изменения.

Сегодня физики уже знают основной «нелинейный» урок, заключающийся в том, что обычно нелинейные уравнения нужно исследовать, не прибегая к привычной процедуре линеаризации, потому что на этом пути нельзя получить, появляющихся в подобного типа уравнениях фундаментальных решений, ни на каком конечном шаге теории возмущений.

Эволюционный процесс математически можно описывать векторным полем скоростей в фазовом пространстве. Под фазовым пространством обычно понимается пространство основных параметров, определяющих поведение системы хi и их производных по времени dxi /dt. Точка фазового пространства задает состояние системы. Приложенный в этой точке вектор указывает скорость изменения данного состояния.

Кривые в фазовом пространстве, образованные последовательными состояниями процесса, называются фазовыми кривыми.

В некоторых точках вектор скорости может обращаться в нуль. Такие точки называются положениями равновесия (состояние не меняется с течением времени). Периодические процессы изображаются замкнутой кривой на фазовой плоскости. Эта кривая называется предельным циклом.

Системы, описывающие реальные эволюционные процессы, всегда зависят от разных параметров, которые никогда не бывают известны точно. Поэтому малое общее изменение параметров превращает систему необщего положения в систему общего положения, то есть для всех случаев, кроме некоторых исключительных.

Для анализа особенностей удобно использовать автономные точечные модели, которые можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

 

dxi /dt =Fi(x1, x2, ..., хn) (i = 1, 2, ..., n). (1.1)

Величины Fi(x1, x2, ..., хn) – нелинейные функции определяющих эволюцию системы переменных хi (не зависящие явно от времени t), обычно они состоят из нескольких слагаемых, описывающих баланс разных факторов, влияющих на эволюционную систему. Положительные члены описывают прибыль компонента хi , отрицательные – убыль. Для построения системы достаточно знать скорости притока и оттока каждого компонента и их зависимость от переменных хi.

Модели типа (1.1) являются простейшими. Можно указать два пути их развития и усложнения.

Первый. В случае распределенных систем необходимо учесть градиенты концентраций хi. Достаточно общими моделями таких систем являются квазилинейные уравнения параболического типа.

Второй. Если система находится при изменяющихся внешних условиях (например, периодических или случайно меняющихся), то задача становится неавтономной. При этом сначала строится и исследуется автономная модель; затем, в зависимости от характера переменного внешнего воздействия, либо добавляются новые члены, явно зависящие от времени, либо постоянные коэффициенты заменяются переменными, также явно зависящими от времени.

Модели типа (1.1) хорошо известны при решении задач химической и биологической кинетики. Мы будем пользоваться результатами, полученными в этих областях, указав лишь некоторые различия, присущие задачам «социальной кинетики».

1. В исследованиях по общественным наукам, в зависимости от задачи, используются различные переменные. Например, в экономике – это денежные, товарные или энергетические потоки, в социологии – 

численность различных социальных групп, в экологии – количество ресурсов и т. п.

2. Очень часто процессы, идущие в социальных системах, разбиваются на ряд элементарных стадий, скорости которых зависят от динамических переменных достаточно просто, т. е. нелинейные функции Fi(x1, x2, ..., хn) представимы в виде полиномов сравнительно низкой степени. Степень полинома в уравнении совпадает с порядком процесса.

3. В общественных науках при описании различных процессов часто идут процессы авторепродукции (эквивалентные тем, что наблюдаются в биологических процессах).

4. Пространственная неоднородность и связанные с нею эффекты играют в ряде социальных процессов большую роль, так как большинство этих процессов локализовано в определенных участках пространства, которые отделены друг от друга определенными границами. Эта гетерогенность пространства, разделение его на «кластеры», имеет очень важное, а во многих вопросах определяющее значение.

5. В общественных науках, число участвующих в социальных процессах объектов может быть достаточно малым, даже порядка единицы. При этом в качестве динамических переменных удобнее использовать вероятность застать объект в том или ином состоянии.

6. Часто высказывается мнение о том, что процессы, изучаемые общественными науками, много сложнее, например, биологических. Это, несомненно, так. Но мы не достигли бы успеха и в процессах, изучаемых в естественных науках, если бы не знали, как выделить основное в них, не обращая внимание на второстепенное. Критерием простоты является не число элементарных стадий в рассматриваемом процессе, а возможность эффективного упрощения исходной системы, уменьшения числа уравнений и числа динамических переменных. В этом смысле социальные процессы даже более просты, чем процессы, изучаемые естественными науками.